3.1538 \(\int \frac{A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^{3/2} \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=720 \[ -\frac{2 \sin (c+d x) \left (A b^2-a (b B-a C)\right )}{b d \left (a^2-b^2\right ) \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x) \sqrt{a+b \cos (c+d x)}}+\frac{\sin (c+d x) \sqrt{\sec (c+d x)} \left (12 a^2 b B-15 a^3 C-a b^2 (8 A-7 C)-4 b^3 B\right ) \sqrt{a+b \cos (c+d x)}}{4 b^3 d \left (a^2-b^2\right )}+\frac{\sin (c+d x) \left (5 a^2 C-4 a b B+4 A b^2-b^2 C\right ) \sqrt{a+b \cos (c+d x)}}{2 b^2 d \left (a^2-b^2\right ) \sqrt{\sec (c+d x)}}-\frac{\sqrt{\cos (c+d x)} \csc (c+d x) \left (15 a^2 C-a b (12 B-5 C)+8 A b^2-2 b^2 (2 B+C)\right ) \sqrt{\frac{a (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt{\frac{a (\sec (c+d x)+1)}{a-b}} F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \cos (c+d x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{\cos (c+d x)}}\right )|-\frac{a+b}{a-b}\right )}{4 b^3 d \sqrt{a+b} \sqrt{\sec (c+d x)}}-\frac{\sqrt{\cos (c+d x)} \csc (c+d x) \left (12 a^2 b B-15 a^3 C-a b^2 (8 A-7 C)-4 b^3 B\right ) \sqrt{\frac{a (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt{\frac{a (\sec (c+d x)+1)}{a-b}} E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \cos (c+d x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{\cos (c+d x)}}\right )|-\frac{a+b}{a-b}\right )}{4 a b^3 d \sqrt{a+b} \sqrt{\sec (c+d x)}}-\frac{\sqrt{a+b} \sqrt{\cos (c+d x)} \csc (c+d x) \left (15 a^2 C-12 a b B+8 A b^2+4 b^2 C\right ) \sqrt{\frac{a (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt{\frac{a (\sec (c+d x)+1)}{a-b}} \Pi \left (\frac{a+b}{b};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \cos (c+d x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{\cos (c+d x)}}\right )|-\frac{a+b}{a-b}\right )}{4 b^4 d \sqrt{\sec (c+d x)}} \]

[Out]

-((12*a^2*b*B - 4*b^3*B - a*b^2*(8*A - 7*C) - 15*a^3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[
a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)
]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*b^3*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((8*A*b^2 - a*b*(12*B - 5
*C) + 15*a^2*C - 2*b^2*(2*B + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(S
qrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c +
d*x]))/(a - b)])/(4*b^3*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 - 12*a*b*B + 15*a^2*C + 4*b
^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[
Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)]
)/(4*b^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c +
d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((4*A*b^2 - 4*a*b*B + 5*a^2*C - b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b
^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((12*a^2*b*B - 4*b^3*B - a*b^2*(8*A - 7*C) - 15*a^3*C)*Sqrt[a + b*Cos[c
+ d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^3*(a^2 - b^2)*d)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 2.34542, antiderivative size = 720, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 9, number of rules used = 9, integrand size = 45, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.2, Rules used = {4221, 3047, 3049, 3061, 3053, 2809, 2998, 2816, 2994} \[ -\frac{2 \sin (c+d x) \left (A b^2-a (b B-a C)\right )}{b d \left (a^2-b^2\right ) \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x) \sqrt{a+b \cos (c+d x)}}+\frac{\sin (c+d x) \sqrt{\sec (c+d x)} \left (12 a^2 b B-15 a^3 C-a b^2 (8 A-7 C)-4 b^3 B\right ) \sqrt{a+b \cos (c+d x)}}{4 b^3 d \left (a^2-b^2\right )}+\frac{\sin (c+d x) \left (5 a^2 C-4 a b B+4 A b^2-b^2 C\right ) \sqrt{a+b \cos (c+d x)}}{2 b^2 d \left (a^2-b^2\right ) \sqrt{\sec (c+d x)}}-\frac{\sqrt{\cos (c+d x)} \csc (c+d x) \left (15 a^2 C-a b (12 B-5 C)+8 A b^2-2 b^2 (2 B+C)\right ) \sqrt{\frac{a (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt{\frac{a (\sec (c+d x)+1)}{a-b}} F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \cos (c+d x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{\cos (c+d x)}}\right )|-\frac{a+b}{a-b}\right )}{4 b^3 d \sqrt{a+b} \sqrt{\sec (c+d x)}}-\frac{\sqrt{\cos (c+d x)} \csc (c+d x) \left (12 a^2 b B-15 a^3 C-a b^2 (8 A-7 C)-4 b^3 B\right ) \sqrt{\frac{a (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt{\frac{a (\sec (c+d x)+1)}{a-b}} E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \cos (c+d x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{\cos (c+d x)}}\right )|-\frac{a+b}{a-b}\right )}{4 a b^3 d \sqrt{a+b} \sqrt{\sec (c+d x)}}-\frac{\sqrt{a+b} \sqrt{\cos (c+d x)} \csc (c+d x) \left (15 a^2 C-12 a b B+8 A b^2+4 b^2 C\right ) \sqrt{\frac{a (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt{\frac{a (\sec (c+d x)+1)}{a-b}} \Pi \left (\frac{a+b}{b};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \cos (c+d x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{\cos (c+d x)}}\right )|-\frac{a+b}{a-b}\right )}{4 b^4 d \sqrt{\sec (c+d x)}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)),x]

[Out]

-((12*a^2*b*B - 4*b^3*B - a*b^2*(8*A - 7*C) - 15*a^3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[
a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)
]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*b^3*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((8*A*b^2 - a*b*(12*B - 5
*C) + 15*a^2*C - 2*b^2*(2*B + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(S
qrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c +
d*x]))/(a - b)])/(4*b^3*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 - 12*a*b*B + 15*a^2*C + 4*b
^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[
Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)]
)/(4*b^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c +
d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((4*A*b^2 - 4*a*b*B + 5*a^2*C - b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b
^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((12*a^2*b*B - 4*b^3*B - a*b^2*(8*A - 7*C) - 15*a^3*C)*Sqrt[a + b*Cos[c
+ d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^3*(a^2 - b^2)*d)

Rule 4221

Int[(u_)*((c_.)*sec[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Dist[(c*Sec[a + b*x])^m*(c*Cos[a + b*x])^m, Int[A
ctivateTrig[u]/(c*Cos[a + b*x])^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] &&  !IntegerQ[m] && KnownSineIntegrandQ[u,
x]

Rule 3047

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> -Simp[((c^2*C - B*c*d + A*d^2)*Cos[e +
f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1))/(d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2)), x] + Dist[1/(d*(n + 1)*(
c^2 - d^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*Simp[A*d*(b*d*m + a*c*(n + 1)) + (c
*C - B*d)*(b*c*m + a*d*(n + 1)) - (d*(A*(a*d*(n + 2) - b*c*(n + 1)) + B*(b*d*(n + 1) - a*c*(n + 2))) - C*(b*c*
d*(n + 1) - a*(c^2 + d^2*(n + 1))))*Sin[e + f*x] + b*(d*(B*c - A*d)*(m + n + 2) - C*(c^2*(m + 1) + d^2*(n + 1)
))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2,
0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 0] && LtQ[n, -1]

Rule 3049

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (B_.)
*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> -Simp[(C*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e +
f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1))/(d*f*(m + n + 2)), x] + Dist[1/(d*(m + n + 2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x]
)^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[a*A*d*(m + n + 2) + C*(b*c*m + a*d*(n + 1)) + (d*(A*b + a*B)*(m + n + 2)
- C*(a*c - b*d*(m + n + 1)))*Sin[e + f*x] + (C*(a*d*m - b*c*(m + 1)) + b*B*d*(m + n + 2))*Sin[e + f*x]^2, x],
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2
, 0] && GtQ[m, 0] &&  !(IGtQ[n, 0] && ( !IntegerQ[m] || (EqQ[a, 0] && NeQ[c, 0])))

Rule 3061

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/(Sqrt[(a_.) + (b_.)*sin[(e_.) +
(f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> -Simp[(C*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e
+ f*x]])/(d*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]), x] + Dist[1/(2*d), Int[(1*Simp[2*a*A*d - C*(b*c - a*d) - 2*(a*c*C - d
*(A*b + a*B))*Sin[e + f*x] + (2*b*B*d - C*(b*c + a*d))*Sin[e + f*x]^2, x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c
+ d*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0]
&& NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 3053

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.
)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Dist[C/b^2, Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f
*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]], x], x] + Dist[1/b^2, Int[(A*b^2 - a^2*C + b*(b*B - 2*a*C)*Sin[e + f*x])/((a + b
*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a
*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 2809

Int[Sqrt[(b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[(2*b*Tan
[e + f*x]*Rt[(c + d)/b, 2]*Sqrt[(c*(1 + Csc[e + f*x]))/(c - d)]*Sqrt[(c*(1 - Csc[e + f*x]))/(c + d)]*EllipticP
i[(c + d)/d, ArcSin[Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[b*Sin[e + f*x]]*Rt[(c + d)/b, 2])], -((c + d)/(c - d))])/(d
*f), x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && PosQ[(c + d)/b]

Rule 2998

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Dist[(A - B)/(a - b), Int[1/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e
+ f*x]]), x], x] - Dist[(A*b - a*B)/(a - b), Int[(1 + Sin[e + f*x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin
[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2
- d^2, 0] && NeQ[A, B]

Rule 2816

Int[1/(Sqrt[(d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[(-2*
Tan[e + f*x]*Rt[(a + b)/d, 2]*Sqrt[(a*(1 - Csc[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Csc[e + f*x]))/(a - b)]*Ellipt
icF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d*Sin[e + f*x]]*Rt[(a + b)/d, 2])], -((a + b)/(a - b))])/(a*f), x] /
; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && PosQ[(a + b)/d]

Rule 2994

Int[((A_) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.)
+ (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[(-2*A*(c - d)*Tan[e + f*x]*Rt[(c + d)/b, 2]*Sqrt[(c*(1 + Csc[e + f*x]))/(c
- d)]*Sqrt[(c*(1 - Csc[e + f*x]))/(c + d)]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[b*Sin[e + f*x]]*Rt[
(c + d)/b, 2])], -((c + d)/(c - d))])/(f*b*c^2), x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[c^2 - d^2, 0] &&
EqQ[A, B] && PosQ[(c + d)/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^{3/2} \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x)} \, dx &=\left (\sqrt{\cos (c+d x)} \sqrt{\sec (c+d x)}\right ) \int \frac{\cos ^{\frac{3}{2}}(c+d x) \left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^{3/2}} \, dx\\ &=-\frac{2 \left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \sin (c+d x)}{b \left (a^2-b^2\right ) d \sqrt{a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}-\frac{\left (2 \sqrt{\cos (c+d x)} \sqrt{\sec (c+d x)}\right ) \int \frac{\sqrt{\cos (c+d x)} \left (\frac{3}{2} \left (A b^2-a (b B-a C)\right )+\frac{1}{2} b (b B-a (A+C)) \cos (c+d x)-\frac{1}{2} \left (4 A b^2-4 a b B+5 a^2 C-b^2 C\right ) \cos ^2(c+d x)\right )}{\sqrt{a+b \cos (c+d x)}} \, dx}{b \left (a^2-b^2\right )}\\ &=-\frac{2 \left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \sin (c+d x)}{b \left (a^2-b^2\right ) d \sqrt{a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}+\frac{\left (4 A b^2-4 a b B+5 a^2 C-b^2 C\right ) \sqrt{a+b \cos (c+d x)} \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right ) d \sqrt{\sec (c+d x)}}-\frac{\left (\sqrt{\cos (c+d x)} \sqrt{\sec (c+d x)}\right ) \int \frac{-\frac{1}{4} a \left (4 A b^2-4 a b B+5 a^2 C-b^2 C\right )+\frac{1}{2} b \left (2 A b^2-2 a b B+a^2 C+b^2 C\right ) \cos (c+d x)-\frac{1}{4} \left (12 a^2 b B-4 b^3 B-a b^2 (8 A-7 C)-15 a^3 C\right ) \cos ^2(c+d x)}{\sqrt{\cos (c+d x)} \sqrt{a+b \cos (c+d x)}} \, dx}{b^2 \left (a^2-b^2\right )}\\ &=-\frac{2 \left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \sin (c+d x)}{b \left (a^2-b^2\right ) d \sqrt{a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}+\frac{\left (4 A b^2-4 a b B+5 a^2 C-b^2 C\right ) \sqrt{a+b \cos (c+d x)} \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right ) d \sqrt{\sec (c+d x)}}+\frac{\left (12 a^2 b B-4 b^3 B-a b^2 (8 A-7 C)-15 a^3 C\right ) \sqrt{a+b \cos (c+d x)} \sqrt{\sec (c+d x)} \sin (c+d x)}{4 b^3 \left (a^2-b^2\right ) d}-\frac{\left (\sqrt{\cos (c+d x)} \sqrt{\sec (c+d x)}\right ) \int \frac{\frac{1}{4} a \left (12 a^2 b B-4 b^3 B-a b^2 (8 A-7 C)-15 a^3 C\right )-\frac{1}{2} a b \left (4 A b^2-4 a b B+5 a^2 C-b^2 C\right ) \cos (c+d x)-\frac{1}{4} \left (a^2-b^2\right ) \left (8 A b^2-12 a b B+15 a^2 C+4 b^2 C\right ) \cos ^2(c+d x)}{\cos ^{\frac{3}{2}}(c+d x) \sqrt{a+b \cos (c+d x)}} \, dx}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )}\\ &=-\frac{2 \left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \sin (c+d x)}{b \left (a^2-b^2\right ) d \sqrt{a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}+\frac{\left (4 A b^2-4 a b B+5 a^2 C-b^2 C\right ) \sqrt{a+b \cos (c+d x)} \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right ) d \sqrt{\sec (c+d x)}}+\frac{\left (12 a^2 b B-4 b^3 B-a b^2 (8 A-7 C)-15 a^3 C\right ) \sqrt{a+b \cos (c+d x)} \sqrt{\sec (c+d x)} \sin (c+d x)}{4 b^3 \left (a^2-b^2\right ) d}-\frac{\left (\sqrt{\cos (c+d x)} \sqrt{\sec (c+d x)}\right ) \int \frac{\frac{1}{4} a \left (12 a^2 b B-4 b^3 B-a b^2 (8 A-7 C)-15 a^3 C\right )-\frac{1}{2} a b \left (4 A b^2-4 a b B+5 a^2 C-b^2 C\right ) \cos (c+d x)}{\cos ^{\frac{3}{2}}(c+d x) \sqrt{a+b \cos (c+d x)}} \, dx}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )}+\frac{\left (\left (8 A b^2-12 a b B+15 a^2 C+4 b^2 C\right ) \sqrt{\cos (c+d x)} \sqrt{\sec (c+d x)}\right ) \int \frac{\sqrt{\cos (c+d x)}}{\sqrt{a+b \cos (c+d x)}} \, dx}{8 b^3}\\ &=-\frac{\sqrt{a+b} \left (8 A b^2-12 a b B+15 a^2 C+4 b^2 C\right ) \sqrt{\cos (c+d x)} \csc (c+d x) \Pi \left (\frac{a+b}{b};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \cos (c+d x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{\cos (c+d x)}}\right )|-\frac{a+b}{a-b}\right ) \sqrt{\frac{a (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt{\frac{a (1+\sec (c+d x))}{a-b}}}{4 b^4 d \sqrt{\sec (c+d x)}}-\frac{2 \left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \sin (c+d x)}{b \left (a^2-b^2\right ) d \sqrt{a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}+\frac{\left (4 A b^2-4 a b B+5 a^2 C-b^2 C\right ) \sqrt{a+b \cos (c+d x)} \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right ) d \sqrt{\sec (c+d x)}}+\frac{\left (12 a^2 b B-4 b^3 B-a b^2 (8 A-7 C)-15 a^3 C\right ) \sqrt{a+b \cos (c+d x)} \sqrt{\sec (c+d x)} \sin (c+d x)}{4 b^3 \left (a^2-b^2\right ) d}-\frac{\left (a \left (12 a^2 b B-4 b^3 B-a b^2 (8 A-7 C)-15 a^3 C\right ) \sqrt{\cos (c+d x)} \sqrt{\sec (c+d x)}\right ) \int \frac{1+\cos (c+d x)}{\cos ^{\frac{3}{2}}(c+d x) \sqrt{a+b \cos (c+d x)}} \, dx}{8 b^3 \left (a^2-b^2\right )}-\frac{\left (a (a-b) \left (8 A b^2-a b (12 B-5 C)+15 a^2 C-2 b^2 (2 B+C)\right ) \sqrt{\cos (c+d x)} \sqrt{\sec (c+d x)}\right ) \int \frac{1}{\sqrt{\cos (c+d x)} \sqrt{a+b \cos (c+d x)}} \, dx}{8 b^3 \left (a^2-b^2\right )}\\ &=-\frac{\left (12 a^2 b B-4 b^3 B-a b^2 (8 A-7 C)-15 a^3 C\right ) \sqrt{\cos (c+d x)} \csc (c+d x) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \cos (c+d x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{\cos (c+d x)}}\right )|-\frac{a+b}{a-b}\right ) \sqrt{\frac{a (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt{\frac{a (1+\sec (c+d x))}{a-b}}}{4 a b^3 \sqrt{a+b} d \sqrt{\sec (c+d x)}}-\frac{\left (8 A b^2-a b (12 B-5 C)+15 a^2 C-2 b^2 (2 B+C)\right ) \sqrt{\cos (c+d x)} \csc (c+d x) F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \cos (c+d x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{\cos (c+d x)}}\right )|-\frac{a+b}{a-b}\right ) \sqrt{\frac{a (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt{\frac{a (1+\sec (c+d x))}{a-b}}}{4 b^3 \sqrt{a+b} d \sqrt{\sec (c+d x)}}-\frac{\sqrt{a+b} \left (8 A b^2-12 a b B+15 a^2 C+4 b^2 C\right ) \sqrt{\cos (c+d x)} \csc (c+d x) \Pi \left (\frac{a+b}{b};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \cos (c+d x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{\cos (c+d x)}}\right )|-\frac{a+b}{a-b}\right ) \sqrt{\frac{a (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt{\frac{a (1+\sec (c+d x))}{a-b}}}{4 b^4 d \sqrt{\sec (c+d x)}}-\frac{2 \left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \sin (c+d x)}{b \left (a^2-b^2\right ) d \sqrt{a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}+\frac{\left (4 A b^2-4 a b B+5 a^2 C-b^2 C\right ) \sqrt{a+b \cos (c+d x)} \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right ) d \sqrt{\sec (c+d x)}}+\frac{\left (12 a^2 b B-4 b^3 B-a b^2 (8 A-7 C)-15 a^3 C\right ) \sqrt{a+b \cos (c+d x)} \sqrt{\sec (c+d x)} \sin (c+d x)}{4 b^3 \left (a^2-b^2\right ) d}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 25.7838, size = 3665, normalized size = 5.09 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)),x]

[Out]

(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*((2*a*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(b^3*(a^2 - b^2)) + (
2*(a^2*A*b^2*Sin[c + d*x] - a^3*b*B*Sin[c + d*x] + a^4*C*Sin[c + d*x]))/(b^3*(-a^2 + b^2)*(a + b*Cos[c + d*x])
) + (C*Sin[2*(c + d*x)])/(4*b^2)))/d + (Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*((A*b)/((-a^2 + b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]
*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (a*B)/((-a^2 + b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a^2*C)/(2*b*(-a^2 +
b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (b*C)/(2*(-a^2 + b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c
+ d*x]]) - (a^2*B*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*b*(-a^2 + b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (b*B*Sqrt[Sec[c + d*x]])/
(2*(-a^2 + b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (5*a*C*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*(-a^2 + b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]
]) + (5*a^3*C*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*b^2*(-a^2 + b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (a*A*Cos[2*(c + d*x)]*Sqrt[S
ec[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (3*a^2*B*Cos[2*(c + d*x)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*b*(-a
^2 + b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (b*B*Cos[2*(c + d*x)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*(-a^2 + b^2)*Sqrt[a + b*Cos
[c + d*x]]) - (7*a*C*Cos[2*(c + d*x)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*(-a^2 + b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (15*a^3*
C*Cos[2*(c + d*x)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*b^2*(-a^2 + b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]))*(((-I)*Sqrt[(a - b)/(a +
b)]*((-12*a^2*b*B + 4*b^3*B + a*b^2*(8*A - 7*C) + 15*a^3*C)*EllipticE[I*ArcSinh[Sqrt[(a - b)/(a + b)]*Tan[(c
+ d*x)/2]], -((a + b)/(a - b))] - 2*(-2*a^2*b*(6*B - 5*C) + 15*a^3*C + 2*b^3*(2*A + C) + a*b^2*(8*A - 8*B + C)
)*EllipticF[I*ArcSinh[Sqrt[(a - b)/(a + b)]*Tan[(c + d*x)/2]], -((a + b)/(a - b))] + 2*(a + b)*(8*A*b^2 - 12*a
*b*B + 15*a^2*C + 4*b^2*C)*EllipticPi[(a + b)/(a - b), I*ArcSinh[Sqrt[(a - b)/(a + b)]*Tan[(c + d*x)/2]], -((a
+ b)/(a - b))])*Sqrt[Cos[c + d*x]*Sec[(c + d*x)/2]^2]*Sec[c + d*x])/Sqrt[((a + b*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/
2]^2)/(a + b)] - (-12*a^2*b*B + 4*b^3*B + a*b^2*(8*A - 7*C) + 15*a^3*C)*Tan[(c + d*x)/2]))/(4*b^3*(a^2 - b^2)*
d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(-(Sin[c + d*x]*(((-I)*Sqrt[(a - b)/(a + b)]*((-12*a^2*b*B + 4*b^3*B + a*b^2*(8*A - 7*C)
+ 15*a^3*C)*EllipticE[I*ArcSinh[Sqrt[(a - b)/(a + b)]*Tan[(c + d*x)/2]], -((a + b)/(a - b))] - 2*(-2*a^2*b*(6*
B - 5*C) + 15*a^3*C + 2*b^3*(2*A + C) + a*b^2*(8*A - 8*B + C))*EllipticF[I*ArcSinh[Sqrt[(a - b)/(a + b)]*Tan[(
c + d*x)/2]], -((a + b)/(a - b))] + 2*(a + b)*(8*A*b^2 - 12*a*b*B + 15*a^2*C + 4*b^2*C)*EllipticPi[(a + b)/(a
- b), I*ArcSinh[Sqrt[(a - b)/(a + b)]*Tan[(c + d*x)/2]], -((a + b)/(a - b))])*Sqrt[Cos[c + d*x]*Sec[(c + d*x)/
2]^2]*Sec[c + d*x])/Sqrt[((a + b*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)] - (-12*a^2*b*B + 4*b^3*B + a*b^2*(
8*A - 7*C) + 15*a^3*C)*Tan[(c + d*x)/2]))/(8*b^2*(a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (S
qrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x]*(((-I)*Sqrt[(a - b)/(a + b)]*((-12*a^2*b*B + 4*b^3*B +
a*b^2*(8*A - 7*C) + 15*a^3*C)*EllipticE[I*ArcSinh[Sqrt[(a - b)/(a + b)]*Tan[(c + d*x)/2]], -((a + b)/(a - b))
] - 2*(-2*a^2*b*(6*B - 5*C) + 15*a^3*C + 2*b^3*(2*A + C) + a*b^2*(8*A - 8*B + C))*EllipticF[I*ArcSinh[Sqrt[(a
- b)/(a + b)]*Tan[(c + d*x)/2]], -((a + b)/(a - b))] + 2*(a + b)*(8*A*b^2 - 12*a*b*B + 15*a^2*C + 4*b^2*C)*Ell
ipticPi[(a + b)/(a - b), I*ArcSinh[Sqrt[(a - b)/(a + b)]*Tan[(c + d*x)/2]], -((a + b)/(a - b))])*Sqrt[Cos[c +
d*x]*Sec[(c + d*x)/2]^2]*Sec[c + d*x])/Sqrt[((a + b*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)] - (-12*a^2*b*B
+ 4*b^3*B + a*b^2*(8*A - 7*C) + 15*a^3*C)*Tan[(c + d*x)/2]))/(8*b^3*(a^2 - b^2)) + (Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(
-((-12*a^2*b*B + 4*b^3*B + a*b^2*(8*A - 7*C) + 15*a^3*C)*Sec[(c + d*x)/2]^2)/2 - ((I/2)*Sqrt[(a - b)/(a + b)]*
((-12*a^2*b*B + 4*b^3*B + a*b^2*(8*A - 7*C) + 15*a^3*C)*EllipticE[I*ArcSinh[Sqrt[(a - b)/(a + b)]*Tan[(c + d*x
)/2]], -((a + b)/(a - b))] - 2*(-2*a^2*b*(6*B - 5*C) + 15*a^3*C + 2*b^3*(2*A + C) + a*b^2*(8*A - 8*B + C))*Ell
ipticF[I*ArcSinh[Sqrt[(a - b)/(a + b)]*Tan[(c + d*x)/2]], -((a + b)/(a - b))] + 2*(a + b)*(8*A*b^2 - 12*a*b*B
+ 15*a^2*C + 4*b^2*C)*EllipticPi[(a + b)/(a - b), I*ArcSinh[Sqrt[(a - b)/(a + b)]*Tan[(c + d*x)/2]], -((a + b)
/(a - b))])*Sec[c + d*x]*(-(Sec[(c + d*x)/2]^2*Sin[c + d*x]) + Cos[c + d*x]*Sec[(c + d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2
]))/(Sqrt[Cos[c + d*x]*Sec[(c + d*x)/2]^2]*Sqrt[((a + b*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]) + ((I/2)*S
qrt[(a - b)/(a + b)]*((-12*a^2*b*B + 4*b^3*B + a*b^2*(8*A - 7*C) + 15*a^3*C)*EllipticE[I*ArcSinh[Sqrt[(a - b)/
(a + b)]*Tan[(c + d*x)/2]], -((a + b)/(a - b))] - 2*(-2*a^2*b*(6*B - 5*C) + 15*a^3*C + 2*b^3*(2*A + C) + a*b^2
*(8*A - 8*B + C))*EllipticF[I*ArcSinh[Sqrt[(a - b)/(a + b)]*Tan[(c + d*x)/2]], -((a + b)/(a - b))] + 2*(a + b)
*(8*A*b^2 - 12*a*b*B + 15*a^2*C + 4*b^2*C)*EllipticPi[(a + b)/(a - b), I*ArcSinh[Sqrt[(a - b)/(a + b)]*Tan[(c
+ d*x)/2]], -((a + b)/(a - b))])*Sqrt[Cos[c + d*x]*Sec[(c + d*x)/2]^2]*Sec[c + d*x]*(-((b*Sec[(c + d*x)/2]^2*S
in[c + d*x])/(a + b)) + ((a + b*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2])/(a + b)))/(((a + b*Cos[c +
d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2)/(a + b))^(3/2) - (I*Sqrt[(a - b)/(a + b)]*Sqrt[Cos[c + d*x]*Sec[(c + d*x)/2]^2]*Sec[
c + d*x]*(((-I)*Sqrt[(a - b)/(a + b)]*(-2*a^2*b*(6*B - 5*C) + 15*a^3*C + 2*b^3*(2*A + C) + a*b^2*(8*A - 8*B +
C))*Sec[(c + d*x)/2]^2)/(Sqrt[1 - Tan[(c + d*x)/2]^2]*Sqrt[1 + ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]) + ((I/2)
*Sqrt[(a - b)/(a + b)]*(-12*a^2*b*B + 4*b^3*B + a*b^2*(8*A - 7*C) + 15*a^3*C)*Sec[(c + d*x)/2]^2*Sqrt[1 - Tan[
(c + d*x)/2]^2])/Sqrt[1 + ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)] + (I*Sqrt[(a - b)/(a + b)]*(a + b)*(8*A*b^2 -
12*a*b*B + 15*a^2*C + 4*b^2*C)*Sec[(c + d*x)/2]^2)/(Sqrt[1 - Tan[(c + d*x)/2]^2]*(1 + Tan[(c + d*x)/2]^2)*Sqrt
[1 + ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)])))/Sqrt[((a + b*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)] - (I*Sqr
t[(a - b)/(a + b)]*((-12*a^2*b*B + 4*b^3*B + a*b^2*(8*A - 7*C) + 15*a^3*C)*EllipticE[I*ArcSinh[Sqrt[(a - b)/(a
+ b)]*Tan[(c + d*x)/2]], -((a + b)/(a - b))] - 2*(-2*a^2*b*(6*B - 5*C) + 15*a^3*C + 2*b^3*(2*A + C) + a*b^2*(
8*A - 8*B + C))*EllipticF[I*ArcSinh[Sqrt[(a - b)/(a + b)]*Tan[(c + d*x)/2]], -((a + b)/(a - b))] + 2*(a + b)*(
8*A*b^2 - 12*a*b*B + 15*a^2*C + 4*b^2*C)*EllipticPi[(a + b)/(a - b), I*ArcSinh[Sqrt[(a - b)/(a + b)]*Tan[(c +
d*x)/2]], -((a + b)/(a - b))])*Sqrt[Cos[c + d*x]*Sec[(c + d*x)/2]^2]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/Sqrt[((a + b*C
os[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]))/(4*b^3*(a^2 - b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.332, size = 5218, normalized size = 7.3 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)^2)/(a+b*cos(d*x+c))^(3/2)/sec(d*x+c)^(3/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{C \cos \left (d x + c\right )^{2} + B \cos \left (d x + c\right ) + A}{{\left (b \cos \left (d x + c\right ) + a\right )}^{\frac{3}{2}} \sec \left (d x + c\right )^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)^2)/(a+b*cos(d*x+c))^(3/2)/sec(d*x+c)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((C*cos(d*x + c)^2 + B*cos(d*x + c) + A)/((b*cos(d*x + c) + a)^(3/2)*sec(d*x + c)^(3/2)), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)^2)/(a+b*cos(d*x+c))^(3/2)/sec(d*x+c)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)**2)/(a+b*cos(d*x+c))**(3/2)/sec(d*x+c)**(3/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{C \cos \left (d x + c\right )^{2} + B \cos \left (d x + c\right ) + A}{{\left (b \cos \left (d x + c\right ) + a\right )}^{\frac{3}{2}} \sec \left (d x + c\right )^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)^2)/(a+b*cos(d*x+c))^(3/2)/sec(d*x+c)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((C*cos(d*x + c)^2 + B*cos(d*x + c) + A)/((b*cos(d*x + c) + a)^(3/2)*sec(d*x + c)^(3/2)), x)